*桁DP [#f19701ea]
このページは競技プログラミングに興味のある方向けに桁DPを簡単に説明するページです

**桁DPって何？ [#s55fbc77]

特定の条件を満たす数を探す(数え上げる)際に用いられる手法です~
特に、使用できる(or禁止されている)数字が制限(or設定)されている場合によく用いられます~

**具体的に [#b2b37ef4]
桁DPを用いる問題の典型例は以下のような問題です~

 0からNまでの整数のうち、5を使用しない整数の数を求めよ
 ただし、N≦1000000とする

**全探索で解けたんですけど [#f0c8c157]

では、N≦10^20でやりましょう

**できませんでした [#pfe1cf13]

そんな時こそ桁DP

**やり方は？ [#xb243572]

最小桁からスタートする手法と最大桁からスタートする方法がありますが、今回は最小桁からスタートする方法でやりましょう~

このタイプの問題は~
・5を使わない整数を数え上げる~
・5を使う整数を数え上げて、最後に全体から引く~
の二通りがありますが、好きなほうを用いてもらって結構です~
しかし、一般に前者のほうが数が簡単です~

今回は、手計算でもできるようにN≦1000でやってみましょう~

まず、1桁の数のうち5を用いない整数を数え上げます~
これは自明で9通りです~

次に、2桁の数のうち5を用いない整数を数え上げます~
2桁の整数は「1*」「2*」「3*」「4*」「5*」「6*」「7*」「8*」「9*」~
であらわされます(*は任意の値)。このうち「5*」は*の値に関係なくNGです~
そして、*は5であってはいけないので*は9通りしかありません~
したがって2桁の整数のうち5を用いない整数は8×9＝72個となります~
このとき 8×"9" の9は「1ケタの数のうち5を用いない整数の数」です(ここがDP要素)~

次に、3桁の数のうち5を用いない整数を数え上げます~
3桁の整数は「1**」「2**」「3**」「4**」「5**」「6**」「7**」「8**」「9**」~
であらわされます(*は任意の値)。このうち「5**」は「**」の値に関係なくNGです
そして、**に5が含まれてはいけません~
「**」に5が含まれていない場合の数は「2桁の整数のうち5を用いない整数の数に等しい」です~
つまり、「**」として合法な値は72通りです~
したがって3桁の整数のうち5を用いない整数は8×72＝576個となります~
「**」に5が含まれていない場合の数は「"2桁の整数のうち5を用いない整数の数"と"1桁の整数のうち5が含まれていない整数の数"の和に等しい」です~
(「**」の形として「00」「01」「02」「03」「04」「06」「07」「08」「09」が合法で、この数は"1桁の整数のうち5が含まれていない整数の数"に等しい)~
つまり、「**」として合法な値は72+9通りです~

したがって3桁の整数のうち5を用いない整数は8×(72+9)＝648個となります~

よってN≦1000のときの5を用いない整数の数は~
576＋72＋9＝657個となります~
648＋72＋9＝729個となります~

**なんか忘れてない？ [#rac4013f]

よく気が付きましたね！~
そう、N≦1000なので、N＝1000の時も考えないといけないですね。~
この手の問題でありがちなミスです。~
最後に1を足して658個。これで完了です~
最後に1を足して730個。これで完了です~
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